オープンVIPスレ解析　ルーレット確率について

IT

オープンVIPにこんなスレ↓がたっていた

赤と黒が二分の一の確率で出るルーレットがある  
これを100回プレーをした時、100回のうちどこかで同じ色が5回連続で出る確率は？  

計算式も示してね




引用元：

これ解ける？

これの理論解はともかく（考えたけど面倒になったのでやめたｗｗ）、
このての問題は統計的に見ると理論値に近づく特性（大数の法則というらしい）があるので
簡単なプログラムを作って実験を試みる。

 スレ本文にもあるように、
　・「100回投げる」を「１試行」とする
　・１試行の中で、５回連続同じ目が出たら「成功」とする
 を前提として、
この「試行」を100とか1000とか10000とか大量に行って
その中で「成功」がどれだけ出たかをカウントし、
全試行回数の中の割合から確率を統計的に算出する。
10や100程度の試行回数じゃ大した傾向はわからないが、
10000や100000やると大体の傾向が見えてくるのだ。

実験用プログラムでは外部から下記の３つの値を取得する。
（１）試行数（引数で取得）
（２）１試行内でのルーレット実施回数（propertiesから取得）
（３）何回連続で同じ目が出たら「成功」とみなすかの回数（propertiesから取得）
全部引数とかpropertiesに寄せてもよかったのだが
（２）と（３）は一通り作った後興味本位で追加したものなので
こういう変なつくりになっている。

プログラムは以下のつくりになっている。

１．引数チェック
  
　　（１）の値を取得し、内容をチェックする。
  
　　数値じゃなかったり、数値でも負数だったりする場合はここでException。
  
１．５．設定ファイル読込
  
　　（２）と（３）を取得し、内容をチェックする。
  
　　数値じゃなかったり、数値でも負数だったりする場合は
  
　　デフォルト設定値の（２）＝100　（３）＝5を使用する。
  
２．実験メイン処理
  
　　ルーレットを（２）の回数実施しその中で（３）の回数同じ目が連続で出たら「成功１回」とし
  
　　この動きを（１）の数分ループして繰り返す。
  
　　ちなみに結果は全てArrayListにためこむので、結構メモリを食うつくりだ。
  
　　初期パラメータ（Xmx64M）だと（１）＝10万に耐えられなかった。
  
　　結果をテキストファイルに出力する目的のためこのようにしているが、
  
　　単なる集計だけを目的とするならもう少しスマートなつくりにできるような気はする。
  
３．結果出力
  
　　２．の結果をテキストファイルに出力する（TSVファイル）。
  
　　出力されるファイルは２つ。
  
　　・Result_Bundle.txt
  
　　⇒試行時に対する成功回数が出力される。
  
　　　ファイルの特性上、ヘッダを除くとファイルの行数は（１）になる。
  
　　・Result_Detail.txt  
　　⇒１試行における成功の情報が詳細に出力される。
  
　　　連続成功となった目と、及び「連続」の目の判定記録である。
  
　　　RED,1,2,3,4,5なら”赤の目が１回目～５回目で連続した”ことを意味する。
  
　　　[NO SUCCESS]だとその試行では”成功が１回もなかった”ことを意味する。
  
４．集計
  
　　試行の結果を集計し、
  
　　「成功回数」「対応する成功回数が全試行内で何回発生したか」「その構成比」を標準出力する。
  
　　
  
　　この「構成比」の部分が、試行回数を増やしたとき、
  
　　この問題の理論値に限りなく近づく。
  
　　たとえば以下は試行回数10000の結果の一部の抜粋であるが
  
　　0       319     3.19%⇒”１回も成功していないのが全試行10000回中319回あった”
  
　　3       2439    24.39%⇒”３回成功したのが全試行10000回中2439回あった”
  
　　となる。

正直、大したことはしていない。
↑に書いてあることを忠実に実施しているだけである。

ちなみに試行回数を10万にしたときの結果は以下の通りとなる。




プログラムが間違えてなければ、成功０回（＝失敗）を除くことで成功確率を求めることが出来る。
よって、大体約97%程度の確率で「成功」することになる。
要するに100回ルーレットやればその中のどこかで「５回連続で同じ目が出る」確率はかなり高い、
ということになる。
まあ、なんとなく、感覚的にもわかるような気がする。
100回もやればそりゃ１回や２回は５連続同じ目が出る事はあるんじゃねえの、
というかんじか。
こんなに高い気はしないがこんなもんなのかな。
そういえば単純に「５連続同じ目が出る」というだけでも1/(2^5)＝1/32≒3.13%であり、
確か1/256(約0.39%)と言われているDQ5のはぐれメタルを仲間にする確率よりははるかに高い。


（２）と（３）の値を変えてみると別の結果も考察できる。
たとえば（２）＝6、（３）＝5としたとき。
これは「６回ルーレットやって５回連続同じ目が出る確率」の実験になる。
（２）の値が100から6に減少したことでかなり厳しくなったといえるだろう。
（チャンスが100回から6回に縮まってしまった）
これも試行数（１）を10万回にすると、結果は以下の通りになる。



この結果によると90%ちょいの確率で「失敗」する（成功は10%に満たない）ので、
直感的にもわかりやすい数字になっている気がする。
ちなみにこのケースだと理論値はわかりやすくて、
成功のパターンは以下の６つしかない。
赤黒黒黒黒黒
黒赤赤赤赤赤
赤赤赤赤赤黒
黒黒黒黒黒赤
赤赤赤赤赤赤
黒黒黒黒黒黒

これに対して全事象数は2^6なので、計算すると6/2^6≒9.38%となる。
大体↑の実験結果と近いので、まあプログラムは問題なさそうである。


別の切り口での実験もできる。
たとえば（２）＝100、（３）＝2としたとき。
これは「１００回ルーレットやって２回連続同じ目が出る確率」の実験になる。
成功の判定基準が５回⇒２回に緩くなったことで、
大分成功確率があがることが容易に想像できる。
５回のときですら約97%という実験結果が出ているのだから２回だとすげーことになりそうである。
実際実験してみると、成功しすぎたのかXmx256Mでは（１）10万回での試行は無理（OutOfMemory）だった。
（１）試行数＝10000回でやってみたときが↓。



注目すべきは失敗していないというところか。
最小の成功数でも33＝最低でも33回は成功していて、失敗していない。
”失敗するほうがレア”ということになる。
というか良く考えたら「２回連続同色で成功」ということは
裏を返せば赤－黒－赤－黒－…と毎回違う色が出続けない限り成功になる。
このパターンは赤から始まるパターンと黒から始まるパターンで２パターンしかなく、
一方目の出方の全パターン数は100回のルーレットで2^100だから、
2/(2^100)=1/(2^99)≒0.000000000000000000000000000001577721…≒0.0000000000000000000000000001577%だ。
逆に言えば1-0.000000000000000000000000000001577721…≒0.9999999999…（ｒｙ≒99.9999999…（ｒｙ%で成功する。
そりゃ失敗するほうが難しいか。

実験結果から考察するに（直感的にもわかることだが）、
（２）ルーレット回数が大きいほど成功確率は高まり
（３）連続同色判定数が大きいほど成功確率は低まり
（２）と（３）が近ければ近いほど成功確率は低まる。
成功確率を高めるためには（２）を大きくして（３）を小さくすればよいわけだ。
多分、この問題の一般解は、（２）＝ｎ、（３）＝ｍとすると

α(n-m+γ)/βm

みたいな形になっていると予想できる。（実際のところ同課は知らないが）


そのうち暇なときに理論解を追ってみるとして、
「100回中５回」の当初の実験結果に戻ると、
どうも「成功３回」というのが最も確率として出やすいようである。
これは「成功３回」にあたる事象数がパターン数では最も多いことを指すが、
２回や１回ではなく「３回」なのはなぜなのだろう。気になる。
感覚的にも２回成功の方がパターン数は多い気がするのだが。
ためしに（２）を20や30にかえてみても、
１回成功が最も多く次いで２回成功・３回成功と続く。
（２）が85くらいのときはまだ２回成功＞３回成功で、
（２）が90くらいのときに２回成功≒３回成功、とトントンくらいになる。
恐らくこのあたりから２回成功と３回成功のパターン数の逆転が始まる。
理論値にはこの辺の考慮が反映されているのだろう。

ところで、当方TOEICのスコアが絶望的に悪い故、
プログラム内で使われている英語のスペルミスや文法的な問題点等が多々ある可能性がある。
温かい目で見守っていただければと思います。